Uma das principais aplicações do estudo das equações diferenciais está nos modelos que descrevem as dinâmicas
populacionais, que permitem previsões sobre o número de indivíduos de uma determinada espécie ao longo do tempo.
O primeiro modelo criado para descrever crescimentos populacionais foi feito por Thomas Robert Malthus (1766 – 1834)
e ficou conhecido como Lei de Malthus. Nesse modelo era suposto que a variação da população era proporcional à
população inicial e à variação do tempo.
Fonte: adaptado de: BIFFI, L. C. R.; SILVA, B. G. da; TRIVIZOLI, L. Uma contextualização histórica para o modelo
clássico de Malthus. Revista Brasileira de História, Educação e Matemática (HIPÁTIA), v. 3, n. 2, p. 8-24, 2018.
Dessa forma, a equação diferencial que descreve esse modelo é:
P'(t) = (α – β)P(t)
Onde:
P(t) representa o total de indivíduos de certa população em um instante t (em anos);
α representa o índice de natalidade dessa população;
β representa o índice de mortalidade dessa população.
Nessa atividade MAPA, queremos que você faça algumas análises de situações referentes ao modelo de Malthus. E, para
isso, você deve responder aos seguintes itens:
a) Segundo dados do IBGE de 2021, a cidade de Maringá (PR) possuía, nesse ano, uma população estimada em 436.472
habitantes, uma taxa de natalidade de 0,01023 (10,23 para 1000 habitantes) e uma taxa de mortalidade de 0,00867 (8,67
para cada 1000 habitantes). Descreva o PVI que representa a dinâmica populacional da cidade de Maringá, segundo a Lei
de Malthus com os dados apresentados, considerando o valor inicial como número de habitantes em 2021.
Fonte: https://www.ipardes.gov.br/cadernos/MontaCadPdf1.php?Municipio=87000. Acesso em: 29 jun. 2023.
b) Determine a solução do PVI obtido no item a.
c) Qual a previsão para a população da cidade de Maringá em 2025? E em 2030? A população tende a crescer ou
decrescer nesses períodos?
d) Observe que para a cidade de Maringá a diferença α – β é positiva. O que ocorre em uma cidade em que α – β=0? E o
que ocorre quando α – β é negativo?
e) Estude agora o que acontece com a solução do PVI do item a, quando t→+∞. O resultado obtido faz sentido quando o
aplicamos ao mundo real? O que esse resultado nos diz sobre o modelo de Malthus?
Essa prática pode ser substituída ou complementada por um levantamento das
medidas horizontais feitas com teodolito e mira estadimétrica.
2. PRÁTICA “LEVANTAMENTO DE CURVAS DE NÍVEL”
Nesta prática o aluno deverá acessar o site dos laboratórios virtuais do parceiro
algetech (https://grupoa-u.blackboard.com), de posse de seu login e senha, deverá
acessar “Labs específicos de Engenharia”, acessar “Laboratórios Específicos de Civil,
Arquitetura e Geologia”, acessar “Topografia: Levantamento de Curvas de Nível”. A
ferramenta é bastante autoexplicativa e seu uso é intuitivo, embora possa ser
complementado pelos próprios manuais da algetch.
• Reconhecer o terreno, imaginando se como seriam as curvas de nível;
• Separar os equipamentos a serem utilizados;
• Montar o tripé;
• Posicionar o nível, centralizado em altura confortável;
• Medir a altura do equipamento
• Posicionar a mira em pontos à ré e a vante
• Leitura dos FS, FM e FI, conferência de FM pela média
• Anotar os dados e repetir o processo até finalizar a quadricula.
3. CÁLCULO E REPRESENTAÇÃO DAS CURVAS DE NÍVEL DO TERRENO
Após a realização da simulação da prática, serão fornecidos dados referentes a uma
malha quadrada homogênea e o aluno deverá fazer os cálculos e interpolações para
traçar as curvas de nível. O próprio algetech fornece um conjunto de dados que pode ser
usado, mas o ideal é que se forneça também outros valores para simular terrenos
distintos.
A partir destes dados, sabendo que os pontos estão equi-espaçados de 3,0m
conforme a quadricula abaixo e roteiro do algetech, deve se adotar uma distância vertical
para as curvas de níveis, recomenda-se 0,5m mas cada caso precisaria ser avaliado.
Deve-se então representar na quadricula as cotas de cada vértice.
Ao final o aluno deve ser capaz de produzir um mapa com um conjunto de curvas de
nível e interpretar seu formato, entendendo como aquela representação ilustra o terreno
medido
1. O aluno entendeu a prática e os métodos para medições horizontais com trena?
2. O aluno entendeu a prática e os métodos para medições de altimetria com nível?
3. Quais são as limitações destes métodos? Em que condições podem ser aplicados?
4. O aluno efetuou os cálculos e interpolações para traçar as curvas de nível
5. Foi possível traçar e representar as curvas de nível para o terreno?
6. As representações foram corretas?:
Conhecer o que são curvas de nível e como elas são representadas;
• Traçar e interpretar um perfil tropográfico;
• Acessar e interpretar cartas topográficas do portal de mapas do ibge;
A partir da carta topográfica, os alunos devem escolher um determinado alinhamento e
traçar o perfil topográfico desta região.
Importante começar esta etapa discutindo sobre cartas topográficas, curvas de nível e
como é um perfil topográfico. Exemplifique com outras cartas topográficas e desenhe no quadro
um perfil topográfico, que pode ser feito à mão livre, apenas para ilustrar
• Posicionar o papel vegetal ou sufurizê sobre a carta com a linha representativa do perfil
que se pretende traçar.
• Transcrever as informações no sufurize referentes ao trecho que será analisado.
Alternativamente, os alunos podem imprimir várias cartas topográficas e desenhar sobre
elas.
• Oriente os alunos que usem cores diferentes para colorir cada intervalo de curva de nível,
para facilitar o entendimento e a visualização do relevo. Cada intervalo deverá ser colorido
com cores distintas (por exemplo, 300 a 325 metros de altitude, de azul; 325 a 350, de
vermelho etc.- preferencialmente seguir o sistema de cores da hipsometria, que facilita na
atividade 2).
• Faça uma análise e interpretação da carta topográfica com os alunos. Por exemplo, onde
é o ponto mais alto ou onde é a área mais íngreme.
• Faça um transecto na carta topográfica. Cuide para que o risco atravesse diferentes cotas
e curvas de nível, para que o perfil tenha formas variadas.
• Transfira os pontos de interseção das curvas de nível para a folha de papel milimetrado e
desenhe o perfil topográfico junto com os alunos.
Ao final o aluno deve ser capaz de produzir um perfil topográfico, mostrando como o
terreno da região escolhida é representada na transversal.
• ELABORAÇÃO MAPA HIPSOMÉTRICO
Nesta prática e na próxima os alunos devem escolher uma região pequena da carta para
representar o mapa hipsométrico. A proposta é continuar a partir da região anterior e desenhar
todas as curvas de nível conforme as cores usadas no mapa hiposmétrico.
• Posicionar o papel sufurize sobre a carta topográfica na região que se pretende
representar;
• Transcrever as informações no sufurize referentes ao trecho que será analisado.
Alternativamente, os alunos podem imprimir várias cartas topográficas e desenhar sobre
elas.
• Oriente os alunos que usem cores diferentes para colorir cada intervalo de curva de nível,
para facilitar o entendimento e a visualização do relevo. Cada intervalo deverá ser colorido
com cores distintas (por exemplo, 300 a 325 metros de altitude, de azul; 325 a 350, de
vermelho etc.- preferencialmente seguir o sistema de cores da hipsometria, que facilita na
atividade 2).
• Elaborar e interpretar o mapa hiposmétrico do terreno ou trecho dele.
Ao final o aluno deve ser capaz de produzir um mapa com a hipsometria do terreno.
• ELABORAÇÃO MAPA CLINOGRÁFICO
Nesta prática e na próxima os alunos devem escolher uma região pequena da carta para
representar o mapa clinográfico. A proposta é continuar a partir da região anterior e desenhar
todas as inclinações do terreno para o mesmo trecho analisado.
Para esta prática o aluno precisará realizar algumas contas simples, que podem ser ou
não auxiliadas por computador ou calculadora.
• Escolher as inclinações e cores que serão representadas no mapa. Para isso é necessário
perceber os valores máximos e mínimos de inclinação. Por exemplo, se a inclinação
máxima por de 24% e a mínima de 3%, convém fazer graduações de 5%; 10%; 15%; 20%
e 25%, estabelecendo uma cor para cada valor, como se pede o mapa de clinografia. Aqui
é interessante o aluno perceber que deve tratar aclives ou declives da mesma forma.
• Calcular, para cada inclinação, qual a distância horizontal correspondente para a diferença
de nível entre as curvas de nível, de tal forma que se chegue em uma tabela de: inclinação,
cor e distância horizontal das curvas de nível;
• Posicionar o papel sufurize sobre a carta topográfica na região que se pretende
representar e transcrever as curvas de nível em lápis preto;
• Transcrever as informações no sufurize referentes ao trecho que será analisado.
Alternativamente, os alunos podem imprimir várias cartas topográficas e desenhar sobre
elas.
• Medir a distância horizontal entre as curvas de nível em vários pontos de interesse,
classificando a inclinação de cada trecho entre curvas de nível;
• Colorir cada trecho conforme a inclinação proposta na tabela, fazer uma graduação leve
das cores vizinhas.
• Elaborar e interpretar o mapa clinográfico do terreno ou trecho dele.
Ao final o aluno deve ser capaz de produzir um mapa com a clinografia do terreno
