Atividade Prática Locorregional
Sinais e Sistemas
1 Introdução
O objetivo desta atividade não é apenas aplicar conceitos de processamento de sinais, mas
desenvolver sua capacidade de utilizar ferramentas de Inteligência Artificial (IA) como um
assistente de programação e análise. Você não receberá códigos prontos: sua tarefa é traduzir
os protocolos técnicos descritos a seguir em prompts detalhados para uma IA geradora de
código e depois, depurar, executar e interpretar os resultados no ambiente GNU Octave.
1.1 Ferramentas e Pré-requisitos
• Software: GNU Octave (versão 6.0 ou superior) ou MATLAB (versão R2018a ou superior).
Preferência para o GNU Octave por ser um software livre.
• Conhecimentos: Familiaridade com programação simples e compreensão dos conceitos
teóricos apresentados nas Aulas 1 a 6.
• Dados: Você vai precisar de:– nota.wav (ou .ogg): Arquivo de áudio1 de uma única nota musical longa feita por
você.– foto.png (ou .jpg): uma selfie tirada por você.
• Códigos: Use uma ferramenta de IA de sua preferência2 para gerar os códigos, copiando
e colando os protocolos detalhados. Essa prática ajuda na prática tanto da programação
quanto na autonomia do seu aprendizado. Como os códigos terão erros, você pode corrigí
los usando a própria ferramenta de IA.
Atenção:
1. Assista ao VÍDEO TUTORIAL para entender o procedimental desta atividade.
2. Procure a tutoria em caso de dificuldades com o manejo desta atividade
prática
1.2 Produto Final
O produto a ser entregue é uma apresentação em vídeo entre 7 a 10 minutos com slides. No
local da avaliação deve ser postado um documento PDF contendo o link do vídeo já na
primeira página e apenas um documento .txt com todos os códigos utilizados.
1. As figuras e tabelas solicitadas, devidamente numeradas e com legendas.
1Esse áudio é um exemplo de várias notas longas. Basta apenas uma feita por você.
2Recomendamos o DeepSeek e o Qwen, que são gratuitos e oferecem bons resultados.
1
2. Respostas objetivas e fundamentadas para as questões propostas em cada protocolo.
3. Uma breve discussão sobre os resultados, comparando-os com a teoria e apontando
possíveis fontes de erro ou discrepância.
O vídeo deve ser feito por você, com seu rosto aparecendo. Recomendo que o vídeo seja
colocado no Youtube no modo não listado.
2 Protocolo I: A Digitalização de Sinais e Seus Artefatos
Conceito Fundamental:
A representação digital de um sinal contínuo é, por natureza, uma aproximação. Este
processo, conforme discutido na Aula 4, envolve duas etapas fundamentais e sequenciais:
a amostragem, que discretiza o sinal no domínio do tempo (ou espacial), e a quan
tização, que discretiza o sinal no domínio da amplitude. Ambas as etapas introduzem
erros e artefatos que são inerentes aos sistemas digitais.
Objetivo da Investigação:
Investigar e documentar, através da manipulação de um sinal 2D (imagem), os ar
tefatos de aliasing (resultante da subamostragem) e de posterização (resultante da
re-quantização), correlacionando os resultados visuais com a teoria de amostragem e
quantização.
2.1 Procedimento Experimental
O procedimento inicia-se com o carregamento da imagem facial no ambiente Octave. A
imagem deve ser convertida para tons de cinza, caso seja colorida, e sua matriz de intensidade
de pixels normalizada para o intervalo de valores reais [0,1]. Este será o nosso sinal de
referência, 𝐼𝑜𝑟𝑖𝑔.
2.1.1 Investigação do Aliasing por Subamostragem
A subamostragem será realizada por um fator de decimação 𝑘 = 4. Isso significa criar uma
nova imagem, 𝐼𝑠𝑢𝑏, selecionando apenas um a cada quatro pixels tanto nas linhas quanto nas
colunas de 𝐼𝑜𝑟𝑖𝑔. Para visualizar o efeito, a imagem subamostrada 𝐼𝑠𝑢𝑏 deve ser reampliada
para as dimensões originais de 𝐼𝑜𝑟𝑖𝑔. É importante que esta reampliação seja feita utilizando
o método de interpolação do vizinho mais próximo (’nearest’), para evitar o mascaramento do
artefato de aliasing por um borrão.
2.1.2 Investigação da Posterização por Re-quantização
Partindo novamente da imagem original normalizada 𝐼𝑜𝑟𝑖𝑔, o processo de re-quantização deve
ser aplicado para diferentes profundidades de bits, especificamente para 𝑏 = {6,4,2,1} bits.
Para cada valor de 𝑏, deve-se calcular o número de níveis de intensidade disponíveis, 𝐿 = 2𝑏.
Emseguida, os valores de intensidade de 𝐼𝑜𝑟𝑖𝑔 devem ser mapeados para esses 𝐿 níveis discretos,
gerando as imagens 𝐼𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑏
.
2
2.2 Análise dos Resultados
A análise dos resultados gerados constitui o núcleo deste protocolo e deve ser apresentada de
forma clara e fundamentada no Sua apresentação .
1. Figura 1: Apresente uma figura comparativa contendo a imagem original 𝐼𝑜𝑟𝑖𝑔 e a
imagem subamostrada e reampliada.
2. Análise do Aliasing: Descreva o artefato visual de aliasing observado. Fundamente
sua descrição com a teoria apresentada na Aula 4, explicando por que a violação do
Teorema de Nyquist em um sinal espacialmente não limitado em banda (como uma
imagem com texturas e bordas) resulta na manifestação de padrões falsos e serrilhados.
3. Figura 2: Apresente uma figura comparativa contendo a imagem original 𝐼𝑜𝑟𝑖𝑔 e suas
versões re-quantizadas para 𝑏 = 6,4,2, e 1 bit.
4. Análise da Posterização: Descreva o efeito de posterização, com foco no caso extremo
de 𝑏 = 1 bit. Quantos níveis de intensidade a imagem final possui? Explique a relação
entre a diminuição do número de bits 𝑏, o aumento do passo de quantização Δ, e a
percepção de “bandas”ou contornos abruptos na imagem.
5. Análise Sistêmica: Com base nos conceitos da Aula 1, trate os processos de “re
quantização”e “subamostragem”como sistemas e analise suas propriedades. A operação
de quantização é linear? A operação de subamostragem (decimação) é invariante no
tempo (ou espaço)? Justifique suas respostas com exemplos ou contraexemplos.
3 Protocolo II: Análise Espectral e Propriedades de Si
metria
Conceito Fundamental:
Oprincípio fundamental da análise de Fourier, introduzido nas Aulas 2 e 3, postula que
um sinal periódico (ou quase-periódico) pode ser decomposto em uma soma de com
ponentes senoidais harmonicamente relacionadas. A Transformada Discreta de Fourier
(TDF) é a ferramenta computacional que nos permite encontrar as amplitudes e fases
dessas componentes. Associado a ela, o Teorema de Parseval garante a conservação
da energia do sinal entre os domínios do tempo e da frequência.
Objetivo da Investigação:
Decompor um sinal de áudio 1D em seus constituintes espectrais para: (a) identificar
sua estrutura harmônica (frequência fundamental e sobretons), (b) analisar a distribui
ção de suas componentes de magnitude e fase, (c) verificar numericamente o princípio
de conservação de energia (Teorema de Parseval), e (d) investigar as propriedades de
simetria do espectro para sinais reais.
3.1 Procedimento Experimental
O sinal de áudio gravado, nota.ogg, deve ser carregado no ambiente Octave. A partir dele,
um segmento estável de 2 segundos de duração deve ser selecionado para análise. Sobre este
segmento, 𝑥[𝑛], deve-se aplicar uma janela de Hann para mitigar o efeito de vazamento
espectral (spectral leakage), um artefato que surge da análise de um bloco finito de dados.
A Transformada Rápida de Fourier (FFT), que é uma implementação eficiente da TDF, deve
3
então ser calculada sobre o sinal janelado, resultando no vetor de espectro complexo 𝑋[𝑘]. A
partir de 𝑋[𝑘], o vetor de frequências correspondente, 𝑓, deve ser construído, e os espectros
de magnitude unilateral e de fase devem ser derivados para análise.
3.2 Análise dos Resultados
A análise espectral detalhada é o foco deste protocolo. Sua apresentação deve conter:
1. Figura 3: Apresente uma figura com dois subplots. No subplot (a), o segmento de
áudio de 2 segundos no domínio do tempo. No subplot (b), o espectro de magnitude
unilateral.
2. Tabela 1: Apresente uma tabela com a frequência (em Hz) e a amplitude relativa
(normalizada pela amplitude da fundamental) dos 5 primeiros harmônicos encontrados
no espectro. Identifique claramente a frequência fundamental, 𝑓0.
3. Análise de Fase: Apresente um gráfico do espectro de fase (de 0 a 𝑓𝑠/2) e discuta
como a relação de fase entre os harmônicos, um conceito derivado da representação
fasorial vista na Aula 2, pode influenciar a forma de onda temporal do sinal, para além
do timbre definido pelas amplitudes.
4. Validação do Teorema de Parseval: Calcule a energia total do sinal janelado no
domínio do tempo, 𝐸𝑡 = ∑|𝑥[𝑛]|2. Calcule a energia no domínio da frequência usando
a expressão correta para a TDF, 𝐸𝑓 = 1
𝑁
∑|𝑋[𝑘]|2. Apresente os dois valores e o erro
relativo percentual entre eles. Discuta como este resultado atesta a precisão da TDF e
o princípio de conservação de energia, conforme discutido na Aula 3. A Equação (3.1)
deve ser sua referência.
𝑁−1
∑
𝑛=0
∑
|𝑥[𝑛]|2 = 1
𝑁
�
�−1
𝑘=0
| 𝑋[𝑘]|2
(3.1)
5. Análise de Simetria: Utilizando o espectro bilateral completo 𝑋[𝑘], demonstre gráfica
e textualmente a propriedade de simetria conjugada para sinais reais. Verifique que o
espectro de magnitude é uma função par e o espectro de fase é uma função ímpar em
relação à frequência zero. Conecte esta observação empírica com a teoria subjacente da
Transformada de Fourier para sinais reais, discutida na Aula 3.
4
A Conversando sobre Análise Espectral e de Sinais
Este apêndice foi pensado para vocês entenderem os conceitos fundamentais no processamento
digital de sinais, com foco em técnicas de janelamento para análise espectral e na modelagem
matemática da amostragem em sinais multidimensionais, como imagens.
A.1 O Papel das Janelas na Análise Espectral via DFT/FFT
A DFT, e seu algoritmo rápido FFT, são ferramentas importantes para estimar o conteúdo de
frequência de um sinal. No entanto, a aplicação da DFT a um segmento finito de um sinal
introduz artefatos que precisam ser compreendidos e mitigados.
A.1.1 A Janela de Hann: Suavizando as Bordas do Sinal
Embora a janela retangular (ou seja, simplesmente truncar o sinal) seja a abordagem mais
intuitiva, ela raramente é a ideal. A janela de Hann é uma alternativa popular, projetada
para reduzir descontinuidades abruptas nas extremidades do bloco de sinal analisado.
Para um sinal de comprimento 𝑁, a janela de Hann é definida matematicamente como:
𝑤[𝑛] = 1
2
(
1 −cos
( 2𝜋𝑛
𝑁 −1
))
,
para 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 −1.
(A.1)
O efeito prático de multiplicar o sinal 𝑥[𝑛] por esta janela 𝑤[𝑛] é que os valores nas extremi
dades do bloco são atenuados suavemente até zero. Isso minimiza as transições abruptas que
ocorreriam ao cortar o sinal, um processo que introduz frequências espúrias na análise.
• Vantagem: Redução significativa dos lóbulos laterais no espectro, o que diminui o
vazamento espectral.
• Desvantagem: Alargamento do lóbulo principal, o que implica uma menor resolução
em frequência a capacidade de distinguir duas componentes de frequência muito
próximas.
A.1.2 Compreendendo o Vazamento Espectral (Spectral Leakage)
O vazamento espectral é uma consequência direta do processo de janelamento. Quando
analisamos um trecho finito de um sinal, estamos, na verdade, multiplicando o sinal original
(potencialmente infinito) por uma função de janela de duração finita. No domínio do tempo,
essa operação é:
𝑣[𝑛] = 𝑥[𝑛] · 𝑤[𝑛]
A teoria de Fourier nos diz que uma multiplicação no domínio do tempo corresponde a uma
convolução periódica no domínio da frequência. A Transformada de Fourier de Tempo
Discreto (DTFT) do sinal janelado 𝑣[𝑛] é dada por:
𝑉(𝑒𝑗𝜔) = 1
2𝜋
ˆ 𝜋
−𝜋
𝑋(𝑒𝑗𝜃) · 𝑊(𝑒𝑗(𝜔−𝜃)) 𝑑𝜃
(A.2)
Isso significa que o espectro verdadeiro do sinal, 𝑋(𝑒𝑗𝜔), é “borrado”pelo espectro da janela,
𝑊(𝑒𝑗𝜔). Como o espectro de qualquer janela finita possui lóbulos laterais, a energia de uma
única frequência senoidal “vaza”para frequências adjacentes, criando a ilusão de que essas
frequências estão presentes no sinal. Janelas como Hann e Hamming são projetadas para
5
terem lóbulos laterais com baixa energia, minimizando esse efeito.
A.1.3 Comparativo: Janelas de Hann e Hamming
Além da janela de Hann, a janela de Hamming é outra escolha comum, definida por:
)
𝑤[𝑛] = 0,54−0,46cos
( 2𝜋𝑛
𝑁 −1
,
para 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 −1.
(A.3)
A principal diferença é que os coeficientes (0,54 e 0,46) são otimizados para cancelar o pri
meiro lóbulo lateral, resultando em uma atenuação ainda maior do que a da janela de Hann.
Em contrapartida, os lóbulos laterais mais distantes da janela de Hamming decaem mais len
tamente.
• Hamming: Excelente para rejeitar o vazamento de frequências próximas, mas pode ter
um “piso de ruído”mais alto para frequências distantes.
• Hann: Boa atenuação geral, com lóbulos laterais que decaem mais rapidamente à
medida que se afastam do lóbulo principal.
A escolha entre elas depende da aplicação: se o objetivo é detectar sinais fracos próximos a
sinais fortes, Hamming pode ser superior. Se o objetivo é uma análise espectral geral, Hann
costuma ser uma escolha robusta.
A.2 Aliasing e Interpolação em Sinais 2D (Imagens)
Os conceitos de amostragem e reconstrução se estendem naturalmente para sinais bidimensi
onais, como imagens, onde os desafios se manifestam visualmente.
A.2.1 Aliasing Espacial em Imagens
Assim como em sinais de áudio, as imagens também possuem um conteúdo de frequência,
mas no domínio espacial (medido em ciclos por pixel ou por centímetro). O Teorema de
Nyquist-Shannon se aplica aqui: a frequência de amostragem espacial deve ser pelo menos o
dobro da maior frequência espacial presente na imagem.
Quando subamostramos (decimamos) uma imagem sem antes aplicar um filtro passa-baixas
2D, as altas frequências espaciais (detalhes finos, texturas, arestas) são “dobradas”para a faixa
de baixas frequências, gerando artefatos conhecidos como aliasing espacial. Visualmente, isso
se manifesta como:
• Padrões de Moiré: Ondulações espúrias que aparecem em áreas com texturas repeti
tivas, como tecidos ou grades.
• Serrilhado (Jaggies): Bordas e linhas diagonais que perdem sua suavidade e adquirem
uma aparência de “escada”.
A.2.2 O Papel da Interpolação na Visualização do Aliasing
Ao reampliar uma imagem que foi subamostrada, o método de interpolação utilizado para
“preencher”os pixels faltantes tem um grande impacto na percepção dos artefatos.
• Interpolação por Vizinho Mais Próximo (Nearest Neighbor): Este método atribui
ao novo pixel o valor do pixel mais próximo na imagem original. Ele não cria novos
valores de cor, resultando em uma aparência “pixelada”ou em blocos. Sua principal
característica é que ele não suaviza a imagem. Por isso, ele é extremamente útil para
6
fins didáticos e de análise, pois preserva e evidencia os artefatos de aliasing, como o
serrilhado, tornando-os fáceis de inspecionar.
• Interpolação Bilinear/Bicúbica: Estes métodos calculam os novos pixels como uma
média ponderada dos pixels vizinhos (4 para bilinear, 16 para bicúbica). O resultado é
uma imagem muito mais suave. Embora esteticamente mais agradável, essa suavização
pode mascarar ou atenuar os efeitos do aliasing, dificultando a análise da causa raiz do
problema.
A.3 Recomendações para um Estudo Aprofundado
Para solidificar a compreensão desses tópicos, sugere-se a criação de um módulo ou aula
complementar abordando os seguintes pontos de forma prática:
1. Fundamentos da FFT:Discutir as diferentes convenções de normalização da DFT/FFT
e o impacto do zero-padding (preenchimento com zeros), que interpola o espectro e
melhora a visualização dos picos, mas não a resolução real.
2. Análise Espectral na Prática: Introduzir o conceito de periodograma (a magnitude
ao quadrado da DFT) como um estimador de densidade espectral de potência. Men
cionar métodos mais avançados como o método de Welch, que reduz a variância do
periodograma calculando a média de FFTs de segmentos sobrepostos do sinal.
3. Sinais Não Estacionários: Apresentar a Transformada de Fourier de Curto Tempo
(STFT), que aplica o janelamento e a FFT em blocos deslizantes do sinal para analisar
como o espectro de frequência varia ao longo do tempo, gerando um espectrograma.
4. Processamento de Imagens: Demonstrar visualmente o fluxo completo de subamos
tragem e reampliação:
a) Aplicar um filtro passa-baixas 2D (ex: filtro Gaussiano) a uma imagem original.
b) Subamostrar a imagem filtrada e a não filtrada por um fator 𝑘.
c) Reampliar ambas as versões usando interpolação por vizinho mais próximo e bi
linear, comparando os resultados visuais e discutindo a presença ou ausência de
aliasing.
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