Projeto e Análise de Compensadores por Intermédio da
Resposta em Frequência Utilizando o Fator k
1. OBJETIVO
Realizar o projeto e a análise de compensadores utilizando a técnica do fator
k, aplicado a um conversor CC-CC abaixador de tensão;
2. MATERIAL UTILIZADO
A Atividade Prática de Controle Contínuo será utilizada com a utilização do
software de simulação gratuito Scilab. O aluno poderá fazer o download do software
no endereço.
https://www.scilab.org/download/6.1.1
Além disso, aconselha-se fortemente, assistir a Aula prática 1 (Aula 7)
e a Aula Prática 3 (Aula 9).
O aluno deverá simular e resolver os seguintes exercícios e entregar o
relatório em um ARQUIVO ÚNICO NO FORMATO PDF no AVA no ícone
Trabalhos.
3. INTRODUÇÃO
Os conversores CC-CC são circuitos eletrônicos de potência que tem a
finalidade de alterar um nível de tensão em corrente contínua, da sua entrada para
a sua saída, por isso são chamados de conversores CC-CC. Eles podem elevar ou
diminuir uma tensão CC, dependendo da topologia e do funcionamento.
Para esta Atividade Prática, vamos utilizar o conversor CC-CC abaixador de
tensão, cujo circuito é mostrado na Figura 1.
Figura 1 – Conversor CC-CC abaixador-elevador de tensão.
Este circuito possui uma função de transferência dada por
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Controle Contínuo
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𝐺(𝑠) =
𝑣𝑐(𝑠)
𝑑(𝑠)
=
𝐸
𝐿𝐶𝑠
2 +
𝐿
𝑅
𝑠 + 1
onde vc(s) que representa a tensão no capacitor saída é o sinal de saída, e d(s) que
representa a razão cíclica é o sinal de entrada.
Para os exercícios a seguir, considere os seguintes parâmetros da função
de transferência.
– L = 2 mH
– C = 470 F
– R = 2 Ω
– E = 100 V
– D = 0,25
Com o auxílio do Scilab, realize as etapas a seguir para projetar e analisar
um sistema de controle para este conversor.
O fator k é uma técnica de controle que permite o projeto de três tipos de
compensadores, cada qual com sua característica específica, denominados de
compensadores Tipo 1, Tipo 2 e Tipo 3, mostrados na Figura 2.
Nos circuitos da Figura 2, o sinal IN é o sinal amostrado da tensão de saída
do conversor CC-CC. O sinal Vref é o valor normalizado que se deseja na saída.
Figura 2 – Compensadores do Tipo 1, Tipo 2 e Tipo 3.
Por exemplo, vamos supor que um circuito como mostrado na Figura 1,
possui uma tensão de saída (que é a tensão sobre o capacitor e sobre o resistor)
seja de 100 V. Então deve-se projetar um divisor resistivo, por exemplo, de modo
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Controle Contínuo
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que a tensão no ponto médio seja equivalente a 100V. Esta tensão pode ser de 2,5
V, por exemplo, e será o sinal IN do compensador.
Assim sabe-se que se no ponto médio do divisor resistivo houver 2,5 V, na
saída haverá 100 V. Portanto, a tensão Vref deve ser de 2,5 V.
Então os compensadores atuam sobre a diferença entre o sinal Vref e IN, e
com base na atuação, resulta-se no sinal OUT, que atuará sobre o conversor,
regulando a tensão de saída.
Independentemente do tipo de compensador utilizado, alguns passos devem
ser seguidos para o projeto dos compensadores.
Passo 1) Obter o diagrama de Bode da planta em malha aberta.
Passo 2) Escolher a frequência de corte desejada (fc).
Passo 3) Escolher a margem de fase desejada (MF).
A margem de fase é um valor escolhido pelo projetista que deve ficar entre
45º e 90º. Para a maioria dos casos, 60º é uma boa escolha.
Passo 4) Determinar o ganho do compensador (G).
Este ganho é calculado fazendo
20 log 𝐺 = 𝐺𝑑𝐵
O valor de GdB é o valor obtido no gráfico de magnitude, em dB, do diagrama
de Bode, na frequência de corte (fc) escolhida.
Passo 5) Determinar o avanço de fase desejado (α).
O avanço de fase desejado é dado por
𝛼 = 𝑀𝐹 − 𝑃 − 90º
onde P é a defasagem provocada pelo sistema, que é o ângulo na frequência de
corte no gráfico de fase no diagrama de Bode.
Passo 6) Escolher o compensador (Tipo 1, Tipo 2 ou Tipo 3).
Passo 7) Cálculo do fator k
Para um compensador do Tipo 1, o fator k é sempre 1.
Para um compensador do Tipo 2, o fator k é dado por
𝑘 = 𝑡𝑔 (
𝛼
2
+ 45º)
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Controle Contínuo
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Para um compensador do Tipo 3, o fator k é dado por
𝑘 = [𝑡𝑔 (
𝛼
4
+ 45º)]
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Após o Passo 7, cada um dos compensadores possui um equacionamento
específico para a determinação de seus componentes.
Independentemente do tipo do compensador escolhido, deve-se atribuir um
valor para o resistor R1, e a partir dele, e de alguns dados determinados nos Passos
de 1 a 7, determina-se o valor dos demais elementos.
A seguir segue o equacionamento de cada um dos compensadores.
Compensador Tipo 1
𝐶1 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐
∙ 𝐺 ∙ 𝑅1
Compensador Tipo 2
𝐶2 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐
∙ 𝐺 ∙ 𝑘 ∙ 𝑅1
𝐶1 = 𝐶2(𝑘
2 − 1)
𝑅2 =
𝑘
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐
∙ 𝐶1
Compensador Tipo 3
𝐶2 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐
∙ 𝐺 ∙ 𝑅1
𝐶1 = 𝐶2(𝑘 − 1)
𝑅2 =
√𝑘
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐
∙ 𝐶1
𝑅3 =
𝑅1
𝑘 − 1
𝐶3 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐
∙ √𝑘 ∙ 𝑅3
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4. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
QUESTÃO 1) A partir da função de transferência do conversor CC-CC, apresente
a reposta em frequência (diagrama de Bode) para uma frequência de 1 mHz até 1
MHz. Mostre o código que foi implementado no Scilab.
Preencha a tabela a seguir com o que é solicitado.
Código
Implementado no
Scilab para a
declaração da
função de
transferência e
da resposta em
frequência do
conversor
Figura da
resposta em
frequência do
conversor.
Gráfico de
módulo e de fase
entre 1 mHz e 1
MHz
QUESTÃO 2) Para uma margem de fase de 60º projete os componentes de um
compensador do Tipo 2, para o referido conversor CC-CC.
Adote 100 Hz como frequência de corte desejada.
Para o valor do resistor R1 adote o número do seu RU divido por 1000, sem
arredondamentos.
Exemplo:
𝑅𝑈 1649402 → 𝑅1 =
1649402
1000
→ 𝑅1 = 1649,402
Preencha a tabela com o que é solicitado.
Defasamento provocado
pelo sistema na
frequência de corte
desejada (P)
Ganho em dB na
frequência de corte
desejada (GdB)
Cálculo e valor do ganho
do compensador (G)
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Cálculo e valor do
avanço de fase desejado
(alfa)
Cálculo e valor do fator k
Cálculo e valor de R1
Cálculo e valor de C2
Cálculo e valor de C1
Cálculo e valor de R2
QUESTÃO 3) Apresente a dedução matemática para a obtenção da função de
transferência do compensador do Tipo 2, e a função de transferência numérica,
considerando os valores dos componentes encontrados na QUESTÃO 2.
Preencha a tabela a seguir com o que é solicitado.
Dedução
matemática da
função de
transferência do
compensador
do Tipo 2
QUESTÃO 4) Considerando a função de transferência do compensador do Tipo 2,
dada por
𝐶(𝑠) =
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
𝑅2𝐶1𝑠 + 1
𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2𝑠
2 + 𝑅1
(𝐶1 + 𝐶2
)𝑠
Apresenta a função de transferência do compensador, preenchendo a tabela a
seguir.
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Código Implementado no
Scilab para a declaração da
função de transferência e da
resposta em frequência do
compensador.
Figura da resposta em
frequência do compensador.
Gráfico de módulo e de fase
entre 1 mHz e 1 MHz
QUESTÃO 5) Obtenha a resposta ao degrau para o sistema em malha aberta sem
compensação.
– Sistema em malha aberta sem compensação:
Em que d(s) = 0,25 e G(s) é a função de transferência da planta. O vetor de tempo
deve ser declarado como t = (0:0.0001:0.03).
Preencha a tabela a seguir com as respostas
Código implementado no
Scilab para a visualização
da resposta ao degrau em
malha aberta sem
compensação.
Figura da resposta ao
degrau em malha aberta.
QUESTÃO 6) Considerando o seguinte diagrama em malha fechada com
compensação.
em que C(s) é a função de transferência do compensador, e que G(s) é a função
de transferência da planta. Apresente a resposta em frequência em malha aberta.
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Código
implementado
no Scilab para
a visualização
da resposta
em frequência
da função de
transferência
em malha
aberta.
Figura da
resposta em
frequência da
função de
transferência
em malha
aberta de 1
mHz até 1
MHz.
QUESTÃO 7) Apresente graficamente os polos e zeros da planta e do
compensador. Utilize o comando plzr do Scilab.
Código
implementado
no Scilab para
a visualização
os polos e
zeros da
planta
Figura dos
polos e zeros
da planta da
planta, G(s)
Código
implementado
no Scilab para
a visualização
os polos e
zeros do
compensador
Figura dos
polos e zeros
do
compensador,
C(s)
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Observações:
Todas as observações a seguir devem OBRIGATORIAMENTE, serem atendidas.
Qualquer uma delas que não seja atendida o trabalho será DESCONSIDERADO:
• Não serão aceitas figuras na forma de fotos de caderno e fotos de tela do
computador. Questões que não atenderem este item serão desconsideradas;
• Todos os cálculos devem ser digitados utilizando um editor de equações.
Figuras e textos com baixa resolução, ou em tamanho desproporcional serão
desconsiderados.
• As questões devem ser respondidas EXCLUSIVAMENTE no espaço
destinado a cada cálculo nas tabelas apresentadas em cada questão.
• O tamanho das tabelas pode ser alterado para que os cálculos e figuras
caibam no espaço destinado à resposta.
• Quaisquer outras dúvidas, podem ser esclarecidas pela tutoria.