QUESTÃO 1

Seja a função f(x,y) definida em uma região que contém o ponto (x₀, y₀), então, diz-se que a função tem um máximo local em (x₀, y₀) se f(x,y) ≤ f(x₀, y₀), por outro lado, diz-se que a função tem um mínimo local em (x₀, y₀) se f(x,y) ≥ f(x₀, y₀). Para encontrar os valores extremos locais (máximos ou mínimos), utilizamos o seguinte teste:

Teste da segunda derivada: Supondo que f(x₀, y₀) e suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem são contínuas em um ponto (x₀, y₀) e que f_x(x₀, y₀) = 0 e f_y(x₀, y₀) = 0, então:
I. f tem um máximo local em (x₀, y₀) se f_xx(x₀, y₀) < 0 e f_xx.f_yy – f_xy² > 0.
II. f tem um mínimo local em (x₀, y₀) se f_xx(x₀, y₀) > 0 e f_xx.f_yy – f_xy² > 0.
III. se f_xx.f_yy – f_xy² < 0, então, (x₀, y₀) não é nem mínimo e nem máximo local.

Sabendo disso, considere a função f(x,y) = xy + x² + y² – 3x – 3y + 2, e, responda as perguntas que seguem:

a) Determine “o” ou “os” pontos críticos.
b) Utilizando o teste da segunda derivada, verifique se os pontos críticos encontrados anteriormente são de máximo ou mínimo local.
c) Encontre o valor que a função f(x,y) assume nos pontos críticos.
d) Faça a representação da função e dos seus respectivos pontos de máximo ou mínimo no GEOGEBRA.