Uma das principais aplicações do estudo das equações diferenciais está nos modelos que descrevem as dinâmicas
populacionais, que permitem previsões sobre o número de indivíduos de uma determinada espécie ao longo do tempo.
O primeiro modelo criado para descrever crescimentos populacionais foi feito por Thomas Robert Malthus (1766 – 1834)
e ficou conhecido como Lei de Malthus. Nesse modelo era suposto que a variação da população era proporcional à
população inicial e à variação do tempo.
Fonte: adaptado de: BIFFI, L. C. R.; SILVA, B. G. da; TRIVIZOLI, L. Uma contextualização histórica para o modelo
clássico de Malthus. Revista Brasileira de História, Educação e Matemática (HIPÁTIA), v. 3, n. 2, p. 8-24, 2018.
Dessa forma, a equação diferencial que descreve esse modelo é:
P'(t) = (α – β)P(t)
Onde:
P(t) representa o total de indivíduos de certa população em um instante t (em anos);
α representa o índice de natalidade dessa população;
β representa o índice de mortalidade dessa população.
Nessa atividade MAPA, queremos que você faça algumas análises de situações referentes ao modelo de Malthus. E, para
isso, você deve responder aos seguintes itens:
a) Segundo dados do IBGE de 2021, a cidade de Maringá (PR) possuía, nesse ano, uma população estimada em 436.472
habitantes, uma taxa de natalidade de 0,01023 (10,23 para 1000 habitantes) e uma taxa de mortalidade de 0,00867 (8,67
para cada 1000 habitantes). Descreva o PVI que representa a dinâmica populacional da cidade de Maringá, segundo a Lei
de Malthus com os dados apresentados, considerando o valor inicial como número de habitantes em 2021.
Fonte: https://www.ipardes.gov.br/cadernos/MontaCadPdf1.php?Municipio=87000. Acesso em: 29 jun. 2023.
b) Determine a solução do PVI obtido no item a.
c) Qual a previsão para a população da cidade de Maringá em 2025? E em 2030? A população tende a crescer ou
decrescer nesses períodos?
d) Observe que para a cidade de Maringá a diferença α – β é positiva. O que ocorre em uma cidade em que α – β=0? E o
que ocorre quando α – β é negativo?
e) Estude agora o que acontece com a solução do PVI do item a, quando t→+∞. O resultado obtido faz sentido quando o
aplicamos ao mundo real? O que esse resultado nos diz sobre o modelo de Malthus?